PER A QUÈ:
-Interrogació directa de finalitat: Per a què volen alguns tants diners?
-Interrogació indirecta de finalitat: Cal que preguntem per a què volen que fem faena presencial.

PERQUÈ:
-Conjunció de causa: Està trista perquè no li han fet la baixa.
-Conjunció de finalitat: Ha reclamat perquè li modifiquen el contracte.
-Substantiu: No entenien el perquè del seu acomiadament.

PER QUÈ:
-Interrogatiu directe de causa: Per què no respectes els drets dels treballadors?
-Interrogatiu indirecte de causa: No sabem per què no va fer la vaga.
-Relatiu: La raó per què alguns són rics és sempre l'explotació.

Tipus de QUE (mai amb preposició):
-Conjunció: El tema que comentes; Estic d'acord que vinga.
-Exclamació: Que lentament camina!; Que cansat estic!
-Relatiu: La taula que coixeja; El xic que parla italià.

Esperem que us haja sigut profitós. No patiu de preguntar si teniu algun dubte.

3er i últim pas. Com que no és ni interrogatiu ni relatiu, només queda la possibilitat que siga un QUE sense accent i SEMPRE SENSE preposició. El resultat, consegüentment, serà: "Els alumnes estaven ben contents que els aprovaren".
Este QUE és una conjunció, però també podem trobar-ne més tipus:

2on
Substituïm el QUÈ per EL QUAL, LA QUAL, ELS QUALS o LES QUALS: de nou l'equivalència no funciona en l'oració (Els alumnes estaven contents del qual els aprovaren), així que tampoc és un cas de relatiu. En cas que ho fora SEMPRE s'acompanyaria de preposició: El llapis amb què/amb el qual escric.

1er
Substituïm el QUÈ per QUINA COSA: com que el resultat no té cap sentit, descartem que siga un interrogatiu. Si ho fora, podria anar amb preposició (De què parles?) o sense (Què dius). Passem, doncs, al següent pas.

La clau rau en les equivalències. Posem per cas que tenim la següent oració:
-Els alumnes estaven ben contents de què els aprovaren.
Si no tenim clar si l'oració conté o no errors gramaticals pel que fa al QUÈ, només hem de seguir els següents passos:

Cal tindre en compte que només en són rellevants els dos primers casos, perquè el tercer té una incidència mínima en la llengua.
Usarem un protocol d'actuació gràcies al qual podreu resoldre tots els casos dubtosos que us trobeu. A més, no us caldran coneixements gramaticals per a fer-lo servir.