Sigui el sistema $$\left\{\begin{array}{rcl}-x + \lambda y + 2z & = & \lambda \\2x + \lambda y - z & = & 2 \\\lambda x - y + 2z & = & \lambda\end{array}\right.$$ a) Discutir la compatibilitat del sistema segons els diversos valors de $\lambda$. b) Resoldre el sistema per a $\lambda = -1$. c) Resoldre el sistema per a $\lambda = 2$.

Donats els vectors $\vec{u} = (a, 1 + a, 2a)$, $\vec{v} = (a, 1, a)$ i $\vec{w} = (1, a, 1)$, es demana: a) Determinar els valors de $a$ perquè els vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ siguin linealment dependents. b) Estudiar si el vector $\vec{c} = (3, 3, 0)$ depèn linealment dels vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ per al cas $a = 2$.

La companyia aèria Air, per a un dels seus vols, ha posat a la venda: 12 places de Classe Preferent (P) a 250 € cadascuna, 36 places de Classe Turista (T) a 150 € cadascuna, 72 places de Classe Econòmica (E) a 100 € cadascuna. Se sap que s’ha venut el 90 % del total de les places, amb una…

Una nació importa 21.000 vehicles mensuals de les marques X, Y i Z als preus d’1,2; 1,5 i 2 milions d’euros, respectivament. Si el total de la importació ascendeix a 33.200 milions i de la marca X s’importa el 40 % de la suma de les altres dues marques, quants vehicles de cada marca entren al país? [\begin{cases}x + y + z = 21000 \

Factoritza el polinomi $A(x) = 6x^3 - 20x^2 + 6x$. Podem extreure factor comú? Efectivament, $2x$ és el factor comú: $$6x^3 - 20x^2 + 6x = 2x \left(3x^2 - 10x + 3\right)$$ El segon factor és un polinomi de segon grau, i en podem trobar les arrels resolent l'equació $3x^2 - 10x + 3 = 0$: $$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \quad \begin{array}{c}

Per fer la massa dels panellets s’utilitzen tres ingredients: farina d’ametlla, sucre i patata bullida.La quantitat de farina d’ametlla és la mateixa que la de sucre i la de patata bullida juntes, mentre que la quantitat de sucre és el doble que la quantitat de patata bullida. Si es volen fer 24 kg de massa de panellets, quants kg es necessitaran de cada ingredient?

Donat el sistema amb paràmetre real **m**:$$\begin{cases}x + y + mz = 2 \\2x + my + z = m \\mx + 2y + 2z = 3\end{cases}$$ Fes la discussió completa segons el valor de **m** (compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible). En cada cas indica:- El nombre de solucions- Quan sigui possible, la solució general---## Resolució### 1. Matriu ampliada$$\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & m & 2 \\2 & m & 1 & m \\m & 2 & 2 & 3\end{array}\right]$$### 2.

Tenim una recta ( r ) a (\mathbb{R}^3) que passa pels punts ( (2,2,4) ) i ( (-1,2,1) ), i un pla ( \pi ) que passa pels punts ( (1,0,1),\ (1,-1,0)\ i\ (3,0,0) ). Es demana: a) Provar que la recta ( r ) no és paral·lela al pla ( \pi ).

Estudieu la posició relativa dels plans $\pi$ i $\pi'$: a) El pla $\pi$ passa pel punt $P(1,2,4)$ i és perpendicular a la recta$$r : (x,y,z)=t(1,-2,1).$$ b) El pla $\pi'$ conté la recta$$r':\begin{cases}x = 2 - 3\lambda\\y = \lambda\\z = 1 + 5\lambda\end{cases}$$i el punt $A(1,0,2)$. Solució 1. Pla (\pi) La recta (r) té vector director…

Calculeu el valor de $a$ perquè les rectes $r$ i $s$ siguin secants. $$r:\quad\begin{cases}x = 2 + \lambda \\y = 3 - 2\lambda \\z = \lambda\end{cases}\qquads:\quad\begin{cases}x = 1 + a\mu \\y = -1 + 2\mu \\z = 3 + 5\mu\end{cases}$$ Solució Les rectes són secants si existeixen valors (\lambda) i (\mu) que compleixen:

Donats els punts $P(-1,2,1)$, $Q(0,1,3)$ i la recta $r$ d'equació $$3x = y+2 = 2z,$$ es demana: a) Donar equacions paramètriques d'una recta paral·lela a $r$ que passi per $P$. b) Trobar l'equació implícita del pla que conté $P$ i $Q$ i és paral·lel a $r$. c) Trobar l'equació implícita del pla que conté la recta $r$ i el punt $Q$.

Calculeu els valors de $m$ i $n$ per a que els punts $A(1,1,1)$, $B(2,0,-1)$, $C(5,m,1)$ i $D(n,3,3)$ siguen els vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Calculeu la seua àrea i obteniu l’equació del pla que el conté.

Suposeu que $ABCD$ és un trapezi els costats no paral·lels del qual són $AB$ i $CD$. Sabent que en una referència es té $A(1,-1,1)$, $B(2,0,3)$, $C(12,-,-,-)$ i $D(7,2,-2)$, calculeu raonadament les coordenades de $C$ i digueu si les diagonals es tallen en el punt mitjà. Suposeu que $ABCD$ és un trapezi els costats no paral·lels del qual són $AB$ i $CD$.

¿Quina és la posició relativa de les rectes $r:\ \dfrac{x-1}{2}=y=\dfrac{z+3}{3}\;$ i $\;s:\ x+3=-y=\dfrac{z}{4}\ ?$ Recta r[\dfrac{x-1}{2}=y=\dfrac{z+3}{3}=t \quad (t\in\mathbb{R})]\begin{equation}\boxed{\begin{cases}x=1+2t \y=t \z=-3+3t\end{cases}}\qquad \text{punt } P(1,0,-3),\ \vec{v}_r=(2,1,3)\end{equation} Recta s[x+3=-y=\dfrac{z}{4}=\lambda \quad (\lambda\in\mathbb{R})]\begin{align}x+3&=\lambda \quad\Rightarrow\quad x=\lambda-3 \-y&=\lambda \quad\Rightarrow\quad y=-\lambda \\dfrac{z}{4}&=\lambda \quad\Rightarrow\quad z=4\lambda\end{align}\begin{equation}\boxed{\begin{cases}

En l’espai es donen els punts $A(1,-1,0)$, $B(-1,y,4)$, $C(4,-10,z)$, $D(1,2,3)$ i $E(x,5,5)$. a) Calculeu, raonadament, les coordenades que falten en $B$, $C$ i $E$, sabent que $A$, $B$ i $C$ estan alineats i que $A$, $B$, $D$ i $E$ són coplanaris.b) Calculeu l’equació de la recta que passa per $A$ i $B$ escrita com a intersecció de dos plans.

Els punts $A(1,3,0)$, $B(5,3,0)$, $C(7,5,0)$ i $D(3,5,8)$ són els vèrtexs d'un tetraedre. Comproveu que els punts mitjans dels segments $AB$, $BD$, $DC$ i $CA$ són els vèrtexs d'un paral·lelogram. Calculeu l'àrea d'aquest paral·lelogram i el volum del tetraedre. Primer calculem les coordenades dels punts mitjans: $$\begin{aligned}M_{AB} &= \dfrac{A+B}{2} = \left( \dfrac{1+5}{2},\ \dfrac{3+3}{2},\ \dfrac{0+0}{2} \right) = (3,3,0) \\M_{BD} &= \dfrac{B+D}{2} = \left( \dfrac{5+3}{2},\ \dfrac{3+5}{2},\ \dfrac{0+8}{2} \right) = (4,4,4) \\

Siga $r_1$ la recta que passa per $A(2,4,0)$ i $B(6,2,0)$ i siga $r_2$ la recta que passa per $C(0,0,7)$ i $D(3,2,0)$. Obteniu raonadament la posició relativa entre $r_1$ i $r_2$. \textbf{Solució:} El vector director de $r_1$ és $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (4,-2,0)$.El vector director de $r_2$ és $\vec{v} = \overrightarrow{CD} = (3,2,-7)$.Els vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ no són proporcionals i per tant les rectes tenen distinta direcció.

En l’espai $\mathbb{R}^3$ suposem que $\pi$ és un pla la direcció del qual està generada pels vectors $\vec{u}=(0,2,-1)$, $\vec{v}=(1,-3,1)$. Es demana: 1) Raona si els punts $P(1,1,1)$ i $Q(0,1,2)$ poden pertànyer, simultàniament, al pla $\pi$. 2) Raona si el pla $\pi$ és o no paral·lel, respectivament a: \quad 2.1) la recta $r: x=y=z$ \quad 2.2) el pla $\pi'\equiv x+y+2z=0$ \textbf{1)} Si els dos punts $P$ i $Q$ pertanyen simultàniament al pla $\pi$ es complirà que el vector $\overrightarrow{PQ}=(-1,0,1)$ és combinació lineal dels vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Considera els vectors $\vec{u} = (2,3,5)$, $\vec{v} = (6,-3,2)$, $\vec{w} = (4,-6,-3)$ i $\vec{p} = (8,0,a)$ i els plans: $$\pi = (x,y,z) = (1,2,3) + \lambda\vec{u} + \mu\vec{v},\qquad\pi' = (x,y,z) = (1,2,3) + \lambda\vec{w} + \mu\vec{p}.$$ a) Obté l'equació de la intersecció de $\pi$ i $\pi'$ quan $a=7$. Justifica el resultat obtenint en funció del rang de la matriu que té per columnes $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ i $\vec{p}$.

Troba la recta que passa pel punt $P(1,0,-1)$ i talla les rectes $L_1$ i $L_2$ donades per: $$L_1 : \begin{cases}3x + 2y - z + 1 = 0 \\ 2x - y + z + 4 = 0\end{cases}\qquad \text{i} \qquad L_2 : \begin{cases} x - y - 3 = 0 \\ y - z + 1 = 0\end{cases}$$ Escrivim les equacions de $L_1$ i $L_2$ en paramètriques.

Trobeu l'equació d'un pla que continga a la recta $r$: $$\begin{cases} x = 3\lambda - 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda\end{cases}\quad$$ i que siga perpendicular al pla $\pi$ que passa pels punts $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ i $R(0,0,1)$. \textbf{Solució:} En primer lloc observem que la recta passa pel punt $P_r(-1,1,0)$ i té per vector director $\vec{v}_r = (3,0,1)$. En segon lloc calculem l'equació implícita del pla $\pi$.

Dos plans infinits uniformement carregats, amb densitats de càrrega superficial $\sigma_1$ i $\sigma_2$, es creuen formant un angle de $30^\circ$ com es mostra a la Figura. Sabent que $\sigma_1$ és positiva i que el camp elèctric en el punt $P) és (100\ \mathrm{N/C}$ en sentit positiu de l’eix $x$:

Les bases d’un paral·lelepíped són ABCD i EFGH on A(1,0,0), B(2,3,0), C(4,0,5) i E(7,6,3). Es demana:a) Coordenades de D, F, G i H.b) Volum del paral·lelepíped.c) Alçaria del paral·lelepíped. a) Com el paral·lelepíped té les cares paral·leles dues a dues, es pot afirmar que els vectors que conformen les arestes oposades tenen igual direcció i mòdul, i per tant si agafem el mateix sentit, són iguals.

Les característiques d’una làmpada fluorescent (amb el seu balast incorporat) són les següents: - Potència activa: P = 40 W - Tensió de xarxa: V = 220 V - Factor de potència: cos φ = 0,6 (endarrerit, càrrega inductiva)Cal determinar: a) La intensitat de corrent I b) La potència aparent S c) La potència reactiva Q d) El circuit equivalent sèrie (R i L) de la làmpada, suposant freqüència de la xarxa de 50 Hz.

Un generador de $500\ \text{V}$ ha d’alimentar un motor que consumeix $50\ \text{A}$. La distància entre generador i motor és de $2\ \text{km}$. La conducció es realitza amb un cable de coure d’anada de secció $40\ \text{mm}^2$ i un fil d’acer de retorn de secció $50\ \text{mm}^2$. Donades les resistivitats $\rho_{\text{Cu}}=1{,}68\ \mu\Omega\cdot\text{cm}$ i $\rho_{\text{acer}}=10{,}27\ \mu\Omega\cdot\text{cm}$, calcular a quin voltatge funciona el motor (és a dir, la tensió que arriba al motor).