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論理、集合論、計算論、数系、圏論
群論、環論、加群論、体論、順序体論、代数多様体
位相、位相多様体、可微分多様体、リーマン多様体、複素多様体、
ホモロジー、ホモトピー
複素解析、測度論、積分論、ヒルベルト空間、バナッハ空間、
調和解析、超関数論、確率解析、多変数関数論
微分方程式論
量子化、流体力学、統計力学、宇宙論、素粒子論
統計、機械学習
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収束列と収束点の対の集合
Lim := { (φ,x) | x∈Real ∧ φ∈Map(Nat,Real＼{x}) ∧ ∀r(r∈(0,∞) ⇒ ∃n(n∈Nat ∧ ∀k((k∈Nat ∧ n<=k) ⇒ abs(sub(φ(k),x))<r))) }
Lim ⊂ Prod(Map(Nat,Real),Real)
Lim := { (φ,x) | x∈Real ∧ φ∈Map(Nat,Real＼{x}) ∧ ∀r(r∈(0,∞) ⇒ ∃n(n∈Nat ∧ ∀k((k∈Nat ∧ n<=k) ⇒ abs(sub(φ(k),x))<r))) }
Lim ⊂ Prod(Map(Nat,Real),Real)
January 19, 2026 at 2:28 AM
収束列と収束点の対の集合
Lim := { (φ,x) | x∈Real ∧ φ∈Map(Nat,Real＼{x}) ∧ ∀r(r∈(0,∞) ⇒ ∃n(n∈Nat ∧ ∀k((k∈Nat ∧ n<=k) ⇒ abs(sub(φ(k),x))<r))) }
Lim ⊂ Prod(Map(Nat,Real),Real)
Lim := { (φ,x) | x∈Real ∧ φ∈Map(Nat,Real＼{x}) ∧ ∀r(r∈(0,∞) ⇒ ∃n(n∈Nat ∧ ∀k((k∈Nat ∧ n<=k) ⇒ abs(sub(φ(k),x))<r))) }
Lim ⊂ Prod(Map(Nat,Real),Real)
論理、集合論、計算論、数系、圏論
群論、環論、加群論、体論、順序体論、代数多様体
位相、位相多様体、可微分多様体、リーマン多様体、複素多様体、
ホモロジー、ホモトピー
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調和解析、超関数論、確率解析、多変数関数論
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January 19, 2026 at 1:59 AM
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f,g∈Map(Nat,Real)
g(n)=O(f(n)) :⇔ ∃K∃c(K∈Nat ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀n((n∈Nat ∧ K<=n) ⇒ |g(n)|<=c*|f(n)|))
f,g∈Map(X,Y)
g(x)=O(f(x)) (x->∞) :⇔ ∃K∃c(K∈X ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ K<=x) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))
a∈X
g(x)=O(f(x)) (x->a) :⇔ ∃c∃d(c,d∈Real ∧ c,d>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ 0<|x-a|<d) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))
g(n)=O(f(n)) :⇔ ∃K∃c(K∈Nat ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀n((n∈Nat ∧ K<=n) ⇒ |g(n)|<=c*|f(n)|))
f,g∈Map(X,Y)
g(x)=O(f(x)) (x->∞) :⇔ ∃K∃c(K∈X ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ K<=x) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))
a∈X
g(x)=O(f(x)) (x->a) :⇔ ∃c∃d(c,d∈Real ∧ c,d>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ 0<|x-a|<d) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))
January 11, 2026 at 1:25 AM
f,g∈Map(Nat,Real)
g(n)=O(f(n)) :⇔ ∃K∃c(K∈Nat ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀n((n∈Nat ∧ K<=n) ⇒ |g(n)|<=c*|f(n)|))
f,g∈Map(X,Y)
g(x)=O(f(x)) (x->∞) :⇔ ∃K∃c(K∈X ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ K<=x) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))
a∈X
g(x)=O(f(x)) (x->a) :⇔ ∃c∃d(c,d∈Real ∧ c,d>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ 0<|x-a|<d) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))
g(n)=O(f(n)) :⇔ ∃K∃c(K∈Nat ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀n((n∈Nat ∧ K<=n) ⇒ |g(n)|<=c*|f(n)|))
f,g∈Map(X,Y)
g(x)=O(f(x)) (x->∞) :⇔ ∃K∃c(K∈X ∧ c∈Real ∧ c>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ K<=x) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))
a∈X
g(x)=O(f(x)) (x->a) :⇔ ∃c∃d(c,d∈Real ∧ c,d>0 ∧ ∀x((x∈X ∧ 0<|x-a|<d) ⇒ |g(x)|<=c*|f(x)|))
∀x∀f∀((x∈On ∧ f∈Cap(MapClass,Univ(x))) ⇒ Dom(f),Ran(f)∈univ(x))
ω⊂a∈On
ob:=Univ(a)
ar:=Cap(MapClass,Univ(a))
form:={ (f,(x,y)) | f∈Cap(MapClass,Univ(a) ∧ x,y∈Univ(a) ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com:={ ((f,g),h) | f,g,h∈MapClass ∧ { (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }=h }
(つづく)
ω⊂a∈On
ob:=Univ(a)
ar:=Cap(MapClass,Univ(a))
form:={ (f,(x,y)) | f∈Cap(MapClass,Univ(a) ∧ x,y∈Univ(a) ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com:={ ((f,g),h) | f,g,h∈MapClass ∧ { (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }=h }
(つづく)
December 26, 2025 at 4:01 PM
∀x∀f∀((x∈On ∧ f∈Cap(MapClass,Univ(x))) ⇒ Dom(f),Ran(f)∈univ(x))
ω⊂a∈On
ob:=Univ(a)
ar:=Cap(MapClass,Univ(a))
form:={ (f,(x,y)) | f∈Cap(MapClass,Univ(a) ∧ x,y∈Univ(a) ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com:={ ((f,g),h) | f,g,h∈MapClass ∧ { (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }=h }
(つづく)
ω⊂a∈On
ob:=Univ(a)
ar:=Cap(MapClass,Univ(a))
form:={ (f,(x,y)) | f∈Cap(MapClass,Univ(a) ∧ x,y∈Univ(a) ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com:={ ((f,g),h) | f,g,h∈MapClass ∧ { (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }=h }
(つづく)
集合圏
ob := V := Union({ Univ(x) | x∈On })
ar := MapClass
form := { (f,(x,y)) | f∈MapClass ∧ x,y∈V ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com := { ((f,g),{ (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }) | f,g∈MapClass }
id := { (x,{ (y,y) | y∈x }) | x∈V }
(ob,ar,form,com,id)は圏、集合圏と呼ぶ
∀f(f∈MapClass ⇒ (∅⊂Dom(f) ∧ Ran(f|∅)⊂∅))
ob := V := Union({ Univ(x) | x∈On })
ar := MapClass
form := { (f,(x,y)) | f∈MapClass ∧ x,y∈V ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com := { ((f,g),{ (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }) | f,g∈MapClass }
id := { (x,{ (y,y) | y∈x }) | x∈V }
(ob,ar,form,com,id)は圏、集合圏と呼ぶ
∀f(f∈MapClass ⇒ (∅⊂Dom(f) ∧ Ran(f|∅)⊂∅))
December 26, 2025 at 2:32 AM
集合圏
ob := V := Union({ Univ(x) | x∈On })
ar := MapClass
form := { (f,(x,y)) | f∈MapClass ∧ x,y∈V ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com := { ((f,g),{ (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }) | f,g∈MapClass }
id := { (x,{ (y,y) | y∈x }) | x∈V }
(ob,ar,form,com,id)は圏、集合圏と呼ぶ
∀f(f∈MapClass ⇒ (∅⊂Dom(f) ∧ Ran(f|∅)⊂∅))
ob := V := Union({ Univ(x) | x∈On })
ar := MapClass
form := { (f,(x,y)) | f∈MapClass ∧ x,y∈V ∧ x⊂Dom(f) ∧ Ran(f|x)⊂y }
com := { ((f,g),{ (x,z) | ∃y((x,y)∈f ∧ (y,z)∈g) }) | f,g∈MapClass }
id := { (x,{ (y,y) | y∈x }) | x∈V }
(ob,ar,form,com,id)は圏、集合圏と呼ぶ
∀f(f∈MapClass ⇒ (∅⊂Dom(f) ∧ Ran(f|∅)⊂∅))
(ob,ar,form,com,id)は圏 :⇔
(form⊂(ar×(ob×ob))∧
com∈Map((ar×ar),ar)∧
id∈Map(ob,ar)∧
∀f(f∈ar ⇒ ∃x∃y(x,y∈ob ∧ (f,(x,y))∈form))∧
∀f∀g∀h∀x∀y∀z∀w((f,(x,y)),(g,(y,z)),(h,(z,w))∈form ⇒ com(com(f,g),h)=com(f,com(g,h)))∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form ⇒ ((id(x),f),f),((f,id(y)),f)∈com)∧
∀x(x∈ob ⇒ (id(x),(x,x))∈form)
)
(form⊂(ar×(ob×ob))∧
com∈Map((ar×ar),ar)∧
id∈Map(ob,ar)∧
∀f(f∈ar ⇒ ∃x∃y(x,y∈ob ∧ (f,(x,y))∈form))∧
∀f∀g∀h∀x∀y∀z∀w((f,(x,y)),(g,(y,z)),(h,(z,w))∈form ⇒ com(com(f,g),h)=com(f,com(g,h)))∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form ⇒ ((id(x),f),f),((f,id(y)),f)∈com)∧
∀x(x∈ob ⇒ (id(x),(x,x))∈form)
)
December 26, 2025 at 2:13 AM
(ob,ar,form,com,id)は圏 :⇔
(form⊂(ar×(ob×ob))∧
com∈Map((ar×ar),ar)∧
id∈Map(ob,ar)∧
∀f(f∈ar ⇒ ∃x∃y(x,y∈ob ∧ (f,(x,y))∈form))∧
∀f∀g∀h∀x∀y∀z∀w((f,(x,y)),(g,(y,z)),(h,(z,w))∈form ⇒ com(com(f,g),h)=com(f,com(g,h)))∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form ⇒ ((id(x),f),f),((f,id(y)),f)∈com)∧
∀x(x∈ob ⇒ (id(x),(x,x))∈form)
)
(form⊂(ar×(ob×ob))∧
com∈Map((ar×ar),ar)∧
id∈Map(ob,ar)∧
∀f(f∈ar ⇒ ∃x∃y(x,y∈ob ∧ (f,(x,y))∈form))∧
∀f∀g∀h∀x∀y∀z∀w((f,(x,y)),(g,(y,z)),(h,(z,w))∈form ⇒ com(com(f,g),h)=com(f,com(g,h)))∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form ⇒ ((id(x),f),f),((f,id(y)),f)∈com)∧
∀x(x∈ob ⇒ (id(x),(x,x))∈form)
)
Fは圏CからDへの関手 :⇔
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa) ∧
{ Fo(x) | x∈ob(C) }⊂ob(D) ∧
{ Fa(x) | x∈ar(C) }⊂ar(D) ∧
{ (Fa(f),(Fo(x),Fo(y))) | (f,(x,y))∈form(C) }⊂form(D) ∧
{ ((Fa(f),Fa(g)),Fa(h)) | ((f,g),h)∈com(C) }⊂com(D) ∧
{ (Fo(x),Fa(f)) | (x,f)∈id(C) }⊂id(D)
)
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa) ∧
{ Fo(x) | x∈ob(C) }⊂ob(D) ∧
{ Fa(x) | x∈ar(C) }⊂ar(D) ∧
{ (Fa(f),(Fo(x),Fo(y))) | (f,(x,y))∈form(C) }⊂form(D) ∧
{ ((Fa(f),Fa(g)),Fa(h)) | ((f,g),h)∈com(C) }⊂com(D) ∧
{ (Fo(x),Fa(f)) | (x,f)∈id(C) }⊂id(D)
)
December 26, 2025 at 1:58 AM
Fは圏CからDへの関手 :⇔
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa) ∧
{ Fo(x) | x∈ob(C) }⊂ob(D) ∧
{ Fa(x) | x∈ar(C) }⊂ar(D) ∧
{ (Fa(f),(Fo(x),Fo(y))) | (f,(x,y))∈form(C) }⊂form(D) ∧
{ ((Fa(f),Fa(g)),Fa(h)) | ((f,g),h)∈com(C) }⊂com(D) ∧
{ (Fo(x),Fa(f)) | (x,f)∈id(C) }⊂id(D)
)
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa) ∧
{ Fo(x) | x∈ob(C) }⊂ob(D) ∧
{ Fa(x) | x∈ar(C) }⊂ar(D) ∧
{ (Fa(f),(Fo(x),Fo(y))) | (f,(x,y))∈form(C) }⊂form(D) ∧
{ ((Fa(f),Fa(g)),Fa(h)) | ((f,g),h)∈com(C) }⊂com(D) ∧
{ (Fo(x),Fa(f)) | (x,f)∈id(C) }⊂id(D)
)
tは圏CからDへの関手FからGへの自然変換 :⇔
(t∈Map(ob(C),ar(D)) ∧
∀x(x∈ob(C) ⇒ (t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)) ∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form(C) ⇒ com(D)(t(x),Ga(f))=com(D)(Fa(f),t(y)))
)
(t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)
(t(y),(Fo(y),Go(y)))∈form(D)
(Fa(f),(Fo(x),Fo(y)))∈form(D)
(Ga(f),(Go(x),Go(y)))∈form(D)
F=(Fo,Fa)
(t∈Map(ob(C),ar(D)) ∧
∀x(x∈ob(C) ⇒ (t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)) ∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form(C) ⇒ com(D)(t(x),Ga(f))=com(D)(Fa(f),t(y)))
)
(t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)
(t(y),(Fo(y),Go(y)))∈form(D)
(Fa(f),(Fo(x),Fo(y)))∈form(D)
(Ga(f),(Go(x),Go(y)))∈form(D)
F=(Fo,Fa)
December 26, 2025 at 1:39 AM
tは圏CからDへの関手FからGへの自然変換 :⇔
(t∈Map(ob(C),ar(D)) ∧
∀x(x∈ob(C) ⇒ (t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)) ∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form(C) ⇒ com(D)(t(x),Ga(f))=com(D)(Fa(f),t(y)))
)
(t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)
(t(y),(Fo(y),Go(y)))∈form(D)
(Fa(f),(Fo(x),Fo(y)))∈form(D)
(Ga(f),(Go(x),Go(y)))∈form(D)
F=(Fo,Fa)
(t∈Map(ob(C),ar(D)) ∧
∀x(x∈ob(C) ⇒ (t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)) ∧
∀f∀x∀y((f,(x,y))∈form(C) ⇒ com(D)(t(x),Ga(f))=com(D)(Fa(f),t(y)))
)
(t(x),(Fo(x),Go(x)))∈form(D)
(t(y),(Fo(y),Go(y)))∈form(D)
(Fa(f),(Fo(x),Fo(y)))∈form(D)
(Ga(f),(Go(x),Go(y)))∈form(D)
F=(Fo,Fa)
Cは圏 ⇒ C=(ob(C),ar(C),form(C),com(C),id(C))
FはCからDへの関手 ⇒
F∈Prod(Map(ob(C),ob(D)),Map(ar(C),ar(D))) ⇒
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa))
tはCからDへの関手FからGへの自然変換 ⇒ t∈Map(ob(C),ar(D))
FはCからDへの関手 ⇒
F∈Prod(Map(ob(C),ob(D)),Map(ar(C),ar(D))) ⇒
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa))
tはCからDへの関手FからGへの自然変換 ⇒ t∈Map(ob(C),ar(D))
December 26, 2025 at 1:26 AM
Cは圏 ⇒ C=(ob(C),ar(C),form(C),com(C),id(C))
FはCからDへの関手 ⇒
F∈Prod(Map(ob(C),ob(D)),Map(ar(C),ar(D))) ⇒
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa))
tはCからDへの関手FからGへの自然変換 ⇒ t∈Map(ob(C),ar(D))
FはCからDへの関手 ⇒
F∈Prod(Map(ob(C),ob(D)),Map(ar(C),ar(D))) ⇒
∃Fo∃Fa(Fo∈Map(ob(C),ob(D)) ∧ Fa∈Map(ar(C),ar(D)) ∧ F=(Fo,Fa))
tはCからDへの関手FからGへの自然変換 ⇒ t∈Map(ob(C),ar(D))
P[x_1 , ... , x_n]は自由変数x_1 , ... , x_nのみを含む論理式とする
{ (x,y) | P[x,y] }は写像 :⇔ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
∀x∀y(￢P[x,y]) ⇒ ({ (x,y) | P[x,y] }は写像 ∧ { (x,y) | P[x,y] }=∅) ⇒ ∅は写像
∀x∃y(￢P[x,y]) ⇔ ￢∃x∀y(P[x,y])
?
{ (x,y) | P[x,y] }は写像 :⇔ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
∀x∀y(￢P[x,y]) ⇒ ({ (x,y) | P[x,y] }は写像 ∧ { (x,y) | P[x,y] }=∅) ⇒ ∅は写像
∀x∃y(￢P[x,y]) ⇔ ￢∃x∀y(P[x,y])
?
December 26, 2025 at 1:13 AM
P[x_1 , ... , x_n]は自由変数x_1 , ... , x_nのみを含む論理式とする
{ (x,y) | P[x,y] }は写像 :⇔ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
∀x∀y(￢P[x,y]) ⇒ ({ (x,y) | P[x,y] }は写像 ∧ { (x,y) | P[x,y] }=∅) ⇒ ∅は写像
∀x∃y(￢P[x,y]) ⇔ ￢∃x∀y(P[x,y])
?
{ (x,y) | P[x,y] }は写像 :⇔ ∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z)
∀x∀y(￢P[x,y]) ⇒ ({ (x,y) | P[x,y] }は写像 ∧ { (x,y) | P[x,y] }=∅) ⇒ ∅は写像
∀x∃y(￢P[x,y]) ⇔ ￢∃x∀y(P[x,y])
?
∀a∀b(a,b∈Univ ⇒ (a,b)∈Univ)
∀A∀a(a∈A∈Univ ⇒ a∈Univ)
∀A∀B∀a∀b((A,B∈Univ ∧ a∈A ∧ b∈B) ⇒ (a,b)∈Univ)
∀A∀a(a∈A∈Univ ⇒ a∈Univ)
∀A∀B∀a∀b((A,B∈Univ ∧ a∈A ∧ b∈B) ⇒ (a,b)∈Univ)
December 18, 2025 at 9:53 PM
∀a∀b(a,b∈Univ ⇒ (a,b)∈Univ)
∀A∀a(a∈A∈Univ ⇒ a∈Univ)
∀A∀B∀a∀b((A,B∈Univ ∧ a∈A ∧ b∈B) ⇒ (a,b)∈Univ)
∀A∀a(a∈A∈Univ ⇒ a∈Univ)
∀A∀B∀a∀b((A,B∈Univ ∧ a∈A ∧ b∈B) ⇒ (a,b)∈Univ)
(R,+,×)は環
Natは自然数全体
Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R):={ A | A∈Map(Nat×Nat,R) ∧ card({ (i,j) | (i,j)∈Nat×Nat ∧ A(i,j)≠0 })∈Nat }
A,B∈Map(Nat×Nat,R), i,j∈Nat
(A+B)(i,j):=A(i,j)+B(i,j)
O:={ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat }
a∈R
(a・A)(i,j):=a×A(i,j)
(Map(Nat×Nat,R),+,・)はR上加群
(Map*(Nat×Nat,R),+,・)もR上加群
Natは自然数全体
Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R):={ A | A∈Map(Nat×Nat,R) ∧ card({ (i,j) | (i,j)∈Nat×Nat ∧ A(i,j)≠0 })∈Nat }
A,B∈Map(Nat×Nat,R), i,j∈Nat
(A+B)(i,j):=A(i,j)+B(i,j)
O:={ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat }
a∈R
(a・A)(i,j):=a×A(i,j)
(Map(Nat×Nat,R),+,・)はR上加群
(Map*(Nat×Nat,R),+,・)もR上加群
December 8, 2025 at 1:57 PM
(R,+,×)は環
Natは自然数全体
Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R):={ A | A∈Map(Nat×Nat,R) ∧ card({ (i,j) | (i,j)∈Nat×Nat ∧ A(i,j)≠0 })∈Nat }
A,B∈Map(Nat×Nat,R), i,j∈Nat
(A+B)(i,j):=A(i,j)+B(i,j)
O:={ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat }
a∈R
(a・A)(i,j):=a×A(i,j)
(Map(Nat×Nat,R),+,・)はR上加群
(Map*(Nat×Nat,R),+,・)もR上加群
Natは自然数全体
Mat(R):=Map*(Nat×Nat,R):={ A | A∈Map(Nat×Nat,R) ∧ card({ (i,j) | (i,j)∈Nat×Nat ∧ A(i,j)≠0 })∈Nat }
A,B∈Map(Nat×Nat,R), i,j∈Nat
(A+B)(i,j):=A(i,j)+B(i,j)
O:={ ((i,j),0) | (i,j)∈Nat×Nat }
a∈R
(a・A)(i,j):=a×A(i,j)
(Map(Nat×Nat,R),+,・)はR上加群
(Map*(Nat×Nat,R),+,・)もR上加群
aは定数、xは変数
指数が変数のとき、f(x)=a^xは指数関数
ベースが変数のとき、f(x)=x^aはベキ関数
exp(a)(x):=a^x
pow(a)(x):=x^a
n∈Nat
Seg(n):={ k | k∈Nat ∧ k<n }
φ∈Map(Seg(suc(n)),Real)
x∈Real
k∈Seg(card(φ))
mono(φ,k)(x):=mul(φ(k),pow(k)(x))
poly(φ)(x):=Σ{ (k,mono(φ,k)(x)) | k∈Seg(card(φ)) }
指数が変数のとき、f(x)=a^xは指数関数
ベースが変数のとき、f(x)=x^aはベキ関数
exp(a)(x):=a^x
pow(a)(x):=x^a
n∈Nat
Seg(n):={ k | k∈Nat ∧ k<n }
φ∈Map(Seg(suc(n)),Real)
x∈Real
k∈Seg(card(φ))
mono(φ,k)(x):=mul(φ(k),pow(k)(x))
poly(φ)(x):=Σ{ (k,mono(φ,k)(x)) | k∈Seg(card(φ)) }
December 8, 2025 at 2:21 AM
aは定数、xは変数
指数が変数のとき、f(x)=a^xは指数関数
ベースが変数のとき、f(x)=x^aはベキ関数
exp(a)(x):=a^x
pow(a)(x):=x^a
n∈Nat
Seg(n):={ k | k∈Nat ∧ k<n }
φ∈Map(Seg(suc(n)),Real)
x∈Real
k∈Seg(card(φ))
mono(φ,k)(x):=mul(φ(k),pow(k)(x))
poly(φ)(x):=Σ{ (k,mono(φ,k)(x)) | k∈Seg(card(φ)) }
指数が変数のとき、f(x)=a^xは指数関数
ベースが変数のとき、f(x)=x^aはベキ関数
exp(a)(x):=a^x
pow(a)(x):=x^a
n∈Nat
Seg(n):={ k | k∈Nat ∧ k<n }
φ∈Map(Seg(suc(n)),Real)
x∈Real
k∈Seg(card(φ))
mono(φ,k)(x):=mul(φ(k),pow(k)(x))
poly(φ)(x):=Σ{ (k,mono(φ,k)(x)) | k∈Seg(card(φ)) }
位相幾何学に入る前にホモロジー代数をやっておいた方が良さそう。ホモロジー代数では鎖複体という抽象性の高い所から話が始まるので内容がすっきりしていて理論全体の見通しが良いらしい。
群論・環論も公理から入るのに、なぜホモロジー論ではそうはならないんだろう。
群論・環論も公理から入るのに、なぜホモロジー論ではそうはならないんだろう。
December 7, 2025 at 4:55 AM
位相幾何学に入る前にホモロジー代数をやっておいた方が良さそう。ホモロジー代数では鎖複体という抽象性の高い所から話が始まるので内容がすっきりしていて理論全体の見通しが良いらしい。
群論・環論も公理から入るのに、なぜホモロジー論ではそうはならないんだろう。
群論・環論も公理から入るのに、なぜホモロジー論ではそうはならないんだろう。
CMap(X,Y)はXからYへの連続写像全体
f,g∈CMap(X,Y)
I:=[0,1]
f,gはホモトピック :⇔ ∃F(F∈Map(I,CMap(X,Y)) ∧ F(0)=f ∧ F(1)=g ∧ { ((t,x),F(t)(x)) | t∈I ∧ x∈X }∈CMap(I×X,Y))
f,g∈CMap(X,Y)
I:=[0,1]
f,gはホモトピック :⇔ ∃F(F∈Map(I,CMap(X,Y)) ∧ F(0)=f ∧ F(1)=g ∧ { ((t,x),F(t)(x)) | t∈I ∧ x∈X }∈CMap(I×X,Y))
December 6, 2025 at 3:09 AM
CMap(X,Y)はXからYへの連続写像全体
f,g∈CMap(X,Y)
I:=[0,1]
f,gはホモトピック :⇔ ∃F(F∈Map(I,CMap(X,Y)) ∧ F(0)=f ∧ F(1)=g ∧ { ((t,x),F(t)(x)) | t∈I ∧ x∈X }∈CMap(I×X,Y))
f,g∈CMap(X,Y)
I:=[0,1]
f,gはホモトピック :⇔ ∃F(F∈Map(I,CMap(X,Y)) ∧ F(0)=f ∧ F(1)=g ∧ { ((t,x),F(t)(x)) | t∈I ∧ x∈X }∈CMap(I×X,Y))
Suc(x):=Cup(x,{x})
Countable(x):=Intersect({ A | x∈A ∧ ∀y(y∈A ⇒ Suc(y)∈A) })
Countable(∅)は最小の無限集合
Countable(Countable(∅))はまだ順序数ではない
Cup(Countable(∅),Countable(Countable(∅)))は順序数
xは順序数 ⇒ Cup(x,Countable(x))は順序数
LimOn:=Intersect({ A | ∅∈A ∧ ∀x(x∈A ⇒ Cup(x,Countable(x))∈A) })
LimOnは極限順序数全体
Countable(x):=Intersect({ A | x∈A ∧ ∀y(y∈A ⇒ Suc(y)∈A) })
Countable(∅)は最小の無限集合
Countable(Countable(∅))はまだ順序数ではない
Cup(Countable(∅),Countable(Countable(∅)))は順序数
xは順序数 ⇒ Cup(x,Countable(x))は順序数
LimOn:=Intersect({ A | ∅∈A ∧ ∀x(x∈A ⇒ Cup(x,Countable(x))∈A) })
LimOnは極限順序数全体
December 6, 2025 at 2:11 AM
Suc(x):=Cup(x,{x})
Countable(x):=Intersect({ A | x∈A ∧ ∀y(y∈A ⇒ Suc(y)∈A) })
Countable(∅)は最小の無限集合
Countable(Countable(∅))はまだ順序数ではない
Cup(Countable(∅),Countable(Countable(∅)))は順序数
xは順序数 ⇒ Cup(x,Countable(x))は順序数
LimOn:=Intersect({ A | ∅∈A ∧ ∀x(x∈A ⇒ Cup(x,Countable(x))∈A) })
LimOnは極限順序数全体
Countable(x):=Intersect({ A | x∈A ∧ ∀y(y∈A ⇒ Suc(y)∈A) })
Countable(∅)は最小の無限集合
Countable(Countable(∅))はまだ順序数ではない
Cup(Countable(∅),Countable(Countable(∅)))は順序数
xは順序数 ⇒ Cup(x,Countable(x))は順序数
LimOn:=Intersect({ A | ∅∈A ∧ ∀x(x∈A ⇒ Cup(x,Countable(x))∈A) })
LimOnは極限順序数全体
群環
(G,*)は群、eは(G,*)の単位元、(R,+,×)は環、0は(R,+)の単位元、1は(R,×)の単位元、・:R×G→Rはスカラー積
Map*(G,R):={ φ | φ∈Map(G,R) ∧ card({ σ | σ∈G ∧ φ(σ)≠0 })∈Nat }
F:={ (φ,Σ{ (σ,φ(σ)・σ) | σ∈G }) | φ∈Map*(G,R) }
R[G]:={ F(φ) | φ∈Map*(G,R) }
F(φ)+F(ψ):=F(φ+ψ)
0:={ (σ,0) | σ∈G }
(G,*)は群、eは(G,*)の単位元、(R,+,×)は環、0は(R,+)の単位元、1は(R,×)の単位元、・:R×G→Rはスカラー積
Map*(G,R):={ φ | φ∈Map(G,R) ∧ card({ σ | σ∈G ∧ φ(σ)≠0 })∈Nat }
F:={ (φ,Σ{ (σ,φ(σ)・σ) | σ∈G }) | φ∈Map*(G,R) }
R[G]:={ F(φ) | φ∈Map*(G,R) }
F(φ)+F(ψ):=F(φ+ψ)
0:={ (σ,0) | σ∈G }
December 5, 2025 at 12:32 PM
群環
(G,*)は群、eは(G,*)の単位元、(R,+,×)は環、0は(R,+)の単位元、1は(R,×)の単位元、・:R×G→Rはスカラー積
Map*(G,R):={ φ | φ∈Map(G,R) ∧ card({ σ | σ∈G ∧ φ(σ)≠0 })∈Nat }
F:={ (φ,Σ{ (σ,φ(σ)・σ) | σ∈G }) | φ∈Map*(G,R) }
R[G]:={ F(φ) | φ∈Map*(G,R) }
F(φ)+F(ψ):=F(φ+ψ)
0:={ (σ,0) | σ∈G }
(G,*)は群、eは(G,*)の単位元、(R,+,×)は環、0は(R,+)の単位元、1は(R,×)の単位元、・:R×G→Rはスカラー積
Map*(G,R):={ φ | φ∈Map(G,R) ∧ card({ σ | σ∈G ∧ φ(σ)≠0 })∈Nat }
F:={ (φ,Σ{ (σ,φ(σ)・σ) | σ∈G }) | φ∈Map*(G,R) }
R[G]:={ F(φ) | φ∈Map*(G,R) }
F(φ)+F(ψ):=F(φ+ψ)
0:={ (σ,0) | σ∈G }
∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z) ⇔: { (x,y) | P[x,y] }は写像
December 3, 2025 at 5:25 AM
∀x∀y∀z((P[x,y] ∧ P[x,z]) ⇒ y=z) ⇔: { (x,y) | P[x,y] }は写像
K,Lは体
LはKの(外側)拡大 :⇔ ∃σ(σ∈Map(K,L) ∧ σは体準同型 ∧ σは単射)
LはKの(内部)拡大 :⇔ (K⊂L ∧ KはLの部分体)
(LはKの外側拡大 ∧ σはその体準同型) ⇒ Lはσ(K)の内部拡大
LはKの内部拡大 ⇒ Lは恒等写像を体準同型とするKの外側拡大
LはKの(外側)拡大 :⇔ ∃σ(σ∈Map(K,L) ∧ σは体準同型 ∧ σは単射)
LはKの(内部)拡大 :⇔ (K⊂L ∧ KはLの部分体)
(LはKの外側拡大 ∧ σはその体準同型) ⇒ Lはσ(K)の内部拡大
LはKの内部拡大 ⇒ Lは恒等写像を体準同型とするKの外側拡大
December 2, 2025 at 1:19 AM
K,Lは体
LはKの(外側)拡大 :⇔ ∃σ(σ∈Map(K,L) ∧ σは体準同型 ∧ σは単射)
LはKの(内部)拡大 :⇔ (K⊂L ∧ KはLの部分体)
(LはKの外側拡大 ∧ σはその体準同型) ⇒ Lはσ(K)の内部拡大
LはKの内部拡大 ⇒ Lは恒等写像を体準同型とするKの外側拡大
LはKの(外側)拡大 :⇔ ∃σ(σ∈Map(K,L) ∧ σは体準同型 ∧ σは単射)
LはKの(内部)拡大 :⇔ (K⊂L ∧ KはLの部分体)
(LはKの外側拡大 ∧ σはその体準同型) ⇒ Lはσ(K)の内部拡大
LはKの内部拡大 ⇒ Lは恒等写像を体準同型とするKの外側拡大
S:={ (A,f,g,φ) | A⊂X ∧ f,g∈Map(Nat×A,Y) ∧ φ∈Map(Nat,Nat) ∧ φは順序保存 ∧ ∀x(x∈A ⇒ Σ{ (n,f(n,x)) | n∈Nat }=Π{ (n,g(φ(n),x)) | n∈Nat }) }
A:=Complex＼{1}
f(n,x):=pow(1/n,x)
g(n,x):=1/(1 - pow(1/n,x))
φ:={ (m,n) | nはm番目の素数 }
(A,f,g,φ)∈S
A:=Complex＼{1}
f(n,x):=pow(1/n,x)
g(n,x):=1/(1 - pow(1/n,x))
φ:={ (m,n) | nはm番目の素数 }
(A,f,g,φ)∈S
December 1, 2025 at 5:37 PM
S:={ (A,f,g,φ) | A⊂X ∧ f,g∈Map(Nat×A,Y) ∧ φ∈Map(Nat,Nat) ∧ φは順序保存 ∧ ∀x(x∈A ⇒ Σ{ (n,f(n,x)) | n∈Nat }=Π{ (n,g(φ(n),x)) | n∈Nat }) }
A:=Complex＼{1}
f(n,x):=pow(1/n,x)
g(n,x):=1/(1 - pow(1/n,x))
φ:={ (m,n) | nはm番目の素数 }
(A,f,g,φ)∈S
A:=Complex＼{1}
f(n,x):=pow(1/n,x)
g(n,x):=1/(1 - pow(1/n,x))
φ:={ (m,n) | nはm番目の素数 }
(A,f,g,φ)∈S
f∈Map(X,Y)に対し、
fは連続写像 ⇔ f={ (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y) }
fはxで連続 ⇔ ∃y(y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y))
fは連続写像 ⇔ f={ (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y) }
fはxで連続 ⇔ ∃y(y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y))
December 1, 2025 at 9:58 AM
f∈Map(X,Y)に対し、
fは連続写像 ⇔ f={ (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y) }
fはxで連続 ⇔ ∃y(y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y))
fは連続写像 ⇔ f={ (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y) }
fはxで連続 ⇔ ∃y(y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X＼{x}) ∧ limX(φ)=x) ⇒ limY(com(φ,f))=y))
D := { (f, { (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X) ∧ limX(φ)=x ∧ ∀n(n∈Nat ⇒ φ(n)≠x)) ⇒ limY(slope(f,φ))=y) }) | f∈Map(X,Y) }
slope(f,φ)(n) := (f(φ(n)) - f(limX(φ))) / (φ(n) - limX(φ))
f∈Map(X,Y)に対し、
A:=Dom(D(f))はXの開集合で、D(f)はAからYへの連続写像ならば、fは可微分
slope(f,φ)(n) := (f(φ(n)) - f(limX(φ))) / (φ(n) - limX(φ))
f∈Map(X,Y)に対し、
A:=Dom(D(f))はXの開集合で、D(f)はAからYへの連続写像ならば、fは可微分
December 1, 2025 at 2:19 AM
D := { (f, { (x,y) | x∈X ∧ y∈Y ∧ ∀φ((φ∈Map(Nat,X) ∧ limX(φ)=x ∧ ∀n(n∈Nat ⇒ φ(n)≠x)) ⇒ limY(slope(f,φ))=y) }) | f∈Map(X,Y) }
slope(f,φ)(n) := (f(φ(n)) - f(limX(φ))) / (φ(n) - limX(φ))
f∈Map(X,Y)に対し、
A:=Dom(D(f))はXの開集合で、D(f)はAからYへの連続写像ならば、fは可微分
slope(f,φ)(n) := (f(φ(n)) - f(limX(φ))) / (φ(n) - limX(φ))
f∈Map(X,Y)に対し、
A:=Dom(D(f))はXの開集合で、D(f)はAからYへの連続写像ならば、fは可微分
集合論の言語
xとyが変数 ⇒ (x∈y)、(x=Y)は論理式
φが論理式 ⇒ ￢φは論理式
(φとψが論理式 ∧ φとψの束縛変数は重ならない) ⇒ (φ∧ψ)は論理式
(φは論理式 ∧ xはφに含まれる自由変数) ⇒ ∃xφは論理式
これらの有限回のステップで得られるものだけが論理式
∃xφのような形式に括り出された変数は束縛変数と呼び、そうでない変数は自由変数と呼ぶ
xとyが変数 ⇒ (x∈y)、(x=Y)は論理式
φが論理式 ⇒ ￢φは論理式
(φとψが論理式 ∧ φとψの束縛変数は重ならない) ⇒ (φ∧ψ)は論理式
(φは論理式 ∧ xはφに含まれる自由変数) ⇒ ∃xφは論理式
これらの有限回のステップで得られるものだけが論理式
∃xφのような形式に括り出された変数は束縛変数と呼び、そうでない変数は自由変数と呼ぶ
November 25, 2025 at 6:43 AM
集合論の言語
xとyが変数 ⇒ (x∈y)、(x=Y)は論理式
φが論理式 ⇒ ￢φは論理式
(φとψが論理式 ∧ φとψの束縛変数は重ならない) ⇒ (φ∧ψ)は論理式
(φは論理式 ∧ xはφに含まれる自由変数) ⇒ ∃xφは論理式
これらの有限回のステップで得られるものだけが論理式
∃xφのような形式に括り出された変数は束縛変数と呼び、そうでない変数は自由変数と呼ぶ
xとyが変数 ⇒ (x∈y)、(x=Y)は論理式
φが論理式 ⇒ ￢φは論理式
(φとψが論理式 ∧ φとψの束縛変数は重ならない) ⇒ (φ∧ψ)は論理式
(φは論理式 ∧ xはφに含まれる自由変数) ⇒ ∃xφは論理式
これらの有限回のステップで得られるものだけが論理式
∃xφのような形式に括り出された変数は束縛変数と呼び、そうでない変数は自由変数と呼ぶ