Laskeskelin GeoGebran avustuksella laskuja murtoluvuilla. Välillä GeoGebra supisti murtolukuni ja välillä ei. Aloinpa pohdiskella kuinka yleistä on, että satunnainen murtoluku sievenee tai ei sievene yksinkertaisemmaksi. Tein pienen animaation, jossa a:lla on arvo 24 ja b saa arvot 1, …, 50. Toisinaan murtoluku supistuu, toisinaan taas ei. Murtoluku a/b:n voidaan supistaa, jos luvuilla a ja b on yhteisiä tekijöitä. Jos murtolukua a/b ei voi supistaa, niin silloin a:lla ja b:llä ei ole yhteisiä tekijöitä ja tällöin niiden suurin yhteinen tekijä on 1.

Kävin pari viikkoa sitten seuramatkalla Japanissa, Kiotossa ja Tokiossa. Siellä on paljon nähtävää. Yksi Tokion maamerkeistä on korkea näköalatorni Skytree. Kerronpa hieman kokemuksestani tornissa. Skytree Sensō-ji -temppelin läheisyydestä Päätin vierailustani tornilla saman päivän aamuna, niinpä en ostanut ennakkoon lippua. Olin tornin juurella noin kello 15.20. Lipunmyynti ja sisäänkäynti ylös löytyi neljännestä kerroksesta, vastakkaiselta puolelta katutason sisäänkäyntiä. Kun astuin ovista sisään, niin vasemmalla oli jono seuraaviin lähtöihin lipunhaltijoille.

Testailen Collabora-ohjelmiston taulukkolaskentaa. Se on lähes yksi yhteen kopio Libreofficen vastaavasta. Collabora-ohjelmisto on ylioppilastutkinto-ohjelmistossa Abitti 2 syksystä 2026 alkaen. Jokin aika sitten opin nopean tavan kopioida kaavoja kahvan avulla, alla esimerkki Collaboralla.. Tämä on varmaankin tuttu asia monelle Excel-nörtille, minä opin tämän vasta nyt vaikka olen käyttänyt Exceliä versionumerosta 4.0 lähtien. Teenpä itselleni ongelmaksi piirtää xy-kuvaaja 50 ensimmäisestä Fibonacciluvusta. Bonuksena sovitan eksponettifunktion pisteisiin (tulee harjoitusta Collaboran kuvaajan piirrosta).

#geometry #MathSky #mathematics #geogebra

#pahkasika #huumori

Edellisellä kerralla elokuussa GeoGebran versionumero oli 851. Katsotaan nyt lukukauden lopussa, miten GeoGebra-ohjelmistoversiota on korjailtu ja mitä uutta on tullut. GeoGebra-versiot päivittyvät lähes samanaikaisesti, usein GeoGebra 5 ensin. Tätä kirjoitettaessa uusimmat Classic 5, 6 sekä verkkoversiot joita kokeilin, olivat versionumeroiltaan 869. Testasin ohjelmia vain Macilläni. Uskoisin, että Windowsissa ohjelmat toimivat samalla tavoin.

Artikkelissa esitellään todistukset neljälle lauseelle, jotka koskevat kolmion sisään ja ulkopuolelle piirrettyjen monikulmioiden alueita. Käytetään GeoGebra-ohjelmaa laskentatyökaluna. Erityistapa…

Yritin keksiä todistusta Marionin lauseeseen (Marion’s Theorem). Kun piirsin kuviota GeoGebralla, tein virheen tuottaessani kuusikulmiota kolmion sisään. Löysin uusia totuuksia liittyen kolmion sisään piirrettyihin kuusikulmioihin. Kolmiossa ABC pisteet D ja E jakavat janan AB suhteessa 1:1:1 eli janojen AD ja BE pituudet ovat ⅓ janan AB pituudesta. Vastaavasti F ja G jakavat janan BC suhteessa 1:1:1 ja janat H ja I jakavat janan CA suhteessa 1:1:1.

Vihdoin helteet alkavat helpottaa. Täällä mökillä Karkkilassa on saatu jo pari kunnollista sadettakin. Pitääpä niiden kunniaksi tehdä katon alaan liittyvä ongelma. Tämä sopinee syksyn aloituspähkinäksi ysiluokkalaisille tai lukiolaisille. Ongelma. Katon lappeelle tuleva vesi kertyy räystään kautta ämpäriin, jonka tilavuus on 30,0 l. Jätin terassille toisen ämpärin, jonka yläosa on ympyrän muotoinen, halkaisija 25 cm. Sateen aikana räystään alla oleva ämpäri täyttyi 35 minuutissa.

Tämän kevään pitkän matikan ylioppilaskoetehtävässä 11 pohdittiin kuinka monta nollaa on suuressa luvussa 2000! - 10300. Tässä pohdiskelen, miten selvittää Abittissa olevien ohjelmien avulla, kuinka monta nollaa on luvun 2000! lopussa. Ensin pitäisi saada aikaiseksi 2000! desimaalilukuna. Geogebra 6:n CAS antaa yhden ratkaisun. Texas Nspire ja Casio Classpad eivät tuottaneet noin suurta lukua numeroina, ainakaan minun taidoillani. Luvun saa laskettua myös Pythonilla, palaan siihen hetken kuluttua.

Päivittelen tätä sivua pikkuhiljaa vuoden myötä, sitä mukaa kun kirjoja tulee luetuksi. Laitan tämän artikkelin blogin alkuun noin puolivuosittain. Tein WordPressin tekoälyllä artikkeliin sopivan k…

Lisäsin viime vuoden Python koodiini tämän kevään kokeet ja tulostin aikasarjojen kuvaajia viime lukuvuosien ylioppilaiden tuloksista. Näissä kuvaajissa vaaka-akselin vuosi tarkoittaa lukuvuoden alkamisvuotta. Esimerkisi 2024 tarkoittaa syksyn 2024 ja kevään 2025 ylioppilaita. puoltoäänet Syksyisin puoltoäänien summan keskiarvo on ollut pienempi kuin keväiden kokeissa. Toki ero on pienentynyt pikku hiljaa. Tästä saisi kivan tehtävän oppilaille. Jos kevään ja syksyn kokeisiin sovitetaan suorat, niin milloin ne leikkaavat?

Olen piirrellyt ylioppilaskokeiden tyttöjen ja poikien arvosanajakaumia vuoden 2022 keväästä alkaen. Linkit edellisiin aiheen artikkeleihin ja tässä tarinassa käytettyyn Python lähdekoodiin löytyvät artikkelin lopusta. Siellä on myös taulukko oppiainekoodeista.  Tänä vuonna tytöillä oli tilastollisesti erittäin merkitsevästi (p < 0.001) paremmat keskiarvot verrattuna poikiin seuraavissa aineissa (suluissa erotus): terveystieto (0,92), äidinkieli ruotsi (0,88), elämänkatsomustieto (0,82), äidinkieli suomi (0,72), psykologia (0,61), suomi pitkä oppimäärä (0,50) , evankelis-luterilainen uskonto (0,38), maantiede (0,35), yhteiskuntaoppi (0,32), historia (0,32), biologia (0,20) ja ruotsi keskipitkä oppimäärä (0,15).

Tässä on kevään 2025 ylioppilaiden aineiden arvosanojen korrelaatiomatriisi. Tämänkin kevään ylioppilaiden kirjoitetuissa aineissa näkyy se, että menestyminen ylioppilaskirjoituksissa  vaikuttaisi korreloivan enimmäkseen reaaliaineiden kanssa.  Käytän tässä aineistona Ylioppilaslautakunnan sivulta Oppilaitoskohtaisia tunnuslukuja löytyvää tiedostoa tiedostossa on kaikkien ylioppilaiden tulokset ja se ei päivity, eli mahdolliset korjaukset tuloksiin eivät näy tässä tiedostossa. korrelaatiomatriisi Keväällä 25  ylioppilaita valmistui 25486 kappaletta, heistä tyttöjä 14425 ja poikia 11061, onnittelut heille.

Last week I  held the course at the Finnish Europass premises on Annankatu. I had five marvelous teacher students from Slovenia and Italy. The course went well and based on the feedback, the participants also learned something new about GeoGebra and Python. I learnt a lot. During the week, we became familiar with the Finnish school system, GeoGebra, and the Python programming language.

Eiväthän nämä oikeasti ole nelikulmioita tai suorakaiteita. Paitsi jos sovitaan, että ympyrän kaari voi olla neliön sivu. Kuvan ”suorakaiteissa” on kaksi janaa ja kaksi ympyrän kaarta. Ympyränkaare…

Kuulin alun perin tämän tehtävän virolaiselta ystävältäni Hannes Jukkilta. Hänen ongelmansa liittyi Tallinnassa sijaitsevaan Väike-Öismäe Tiik nimiseen lampeen ja sitä kiertäviin ympyrän muoto…

Kun desimaaliluvun muuttaa binääriluvuksi, niin usein binääriluvun esitykseksi tulee päättymätön ”desimaaliluku”. Esimerkiksi kahdeksan kymmenesosaa on desimaalilukuna 0,8 ja binäärilukuna 0.110011001100... Tämän vuoksi liukuluvuilla laskettaessa tulee väkisinkin pyöritysvirhettä. Python ohjelmointikieli laskee liukuluvut 55 bitin tarkkuudella. Niinpä luku o.8 on binäärilukuna 0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101. Kun tämän luvun muuntaa takaisin 10-järjestelmän luvuksi, niin saadaan 0.80000000000000004440892098500626161694526672363281. Kun Pythonissa tulostaa luvun print-funktiolla, niin se oletuksena katkaisee 16 desimaalin tarkkuuteen, koneen muistissa luku kuitenkin on 55-bittisenä binäärilukuna.

Päivittelen tätä sivua pikkuhiljaa vuoden myötä, sitä mukaa kun kirjoja tulee luetuksi. Laitan tämän artikkelin blogin alkuun noin puolivuosittain. Tein WordPressin tekoälyllä artikkeliin sopivan kuvan. An old bald man with classes and beard reading a scifi book by a Finnish lake, rocket in the night sky, two moons. Martha Wells. Oikullinen protokolla. Murhabotin päiväkirjat 3. Karannut SecUnit robotti jatkaa pakoaan ja tutkii suuryhtiön tekemiä rikoksia.

Tämä löytyi ystäväni Timin X-tweetistä. Toki tämä ongelma on keksitty ja ratkaistu jo 1600-luvulla. Minulle tämä oli uusi juttu. Ongelma 1. Olkoon ABC kolmio. Piirretään kullekin sivulle tasasivuiset kolmiot ABD, BCE ja CAF. Tällöin janat AE, BF ja CD leikkaavat samassa pisteessä. Todista. Lause toimii, vaikka piste olisi kolmion ulkopuolella, toki silloin lauseen janat pitää korvata suorilla. Ongelma 2. Todista, että janojen AE, BF ja CD välinen kulma on 120°.

Tutkitaan vanhaa pinta-aloihin liittyvää ongelmaa. Se löytyy Isosta Kirjasta. Olen julkaissut vastaavan tarinan Hyllin vanhoilla veppisivuilla joskus 2011 tai aiemmin. Kahden ensimmäisen ongelman todistaminen on suhteellisen helppoa. Jäljennän alle GeoGebralla kuvan, joka löytyy englanninkielisestä Newtonin Principiasta. Book I. Section I. To find centripetal forces. Proposition I, Theorem I. Ongelma 1. Olkoot A, B ja S eri pisteitä. Valitaan suoralta AB piste c siten, että janan pituus Bc = AB.

Edellisessä artikkelissani pohdiskelin ongelmaa, joka oli versio alkuperäisestä Regiomontanuksen tauluongelmasta vuoden 1471. Alkuperäinen ongelma on tasogeometrian ongelma. Tosimaailmassa taulut asustavat kolmiulotteisessa maailmassa. Miten ongelma muuttuu?

Tämä klassikkotehtävä on nimetty kauan sitten eläneen henkilön nimen mukaan. Alla on hänen kuvansa. Tämän ongelman voi ratkaista kynällä ja paperilla geometrisesti tai sitten kirjainlaskennolla vaikkapa CASia apuna käyttäen.

Edellisessä artikkelissani pohdin, mikä on yksikköympyrään piirretyn säännöllisen N-kulmion sisään piirretyn kolmion suurin ala. Päätinpä käyttää apuna tekoälyjä heptagrammiin liittyen. Omien laskelmieni mukaan suurin ala on noin 1.1918697817. Kirjoitin seuraavan tehtävän  kolmelle ilmaiselle ”suurelle” tekoälysovellukselle; ChatGPT, Copilot ja Gemini : ”Säännölliseen yksikköympyrään piirrettyyn 7-kulmioon piirretään pinta-alaltaan suurin kolmio. Kuinka suuri on sen pinta-ala?”. Pyysin lisäksi tekoälyjä piirtämään kuvan ratkaisusta: ”

Luin kirjan nimeltä ”Why do buses Come in Threes?”. Kirjassa on paljon tarinoita tosielämän matemaattisista ilmiöistä. Siinä oli selitetty muun muassa miksi biljardin/snookerin pitkissä lyönneissä vaikeinta on saada pallo pussitettua, kun kohdepallo on noin puolessa välissä  lyöntipalloa ja pussia. En ollut tyytyväinen kirjan esittämään kaavaan. Piti laskea itse. Tässä tutkitaan vain suoraa lyöntiä, jossa lyöntipallo lyödään ilman kierteitä kohdepallon keskipistettä kohden.